New PDF release: Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff: Eine

By Friedrich. Bachmann

ISBN-10: 3662012340

ISBN-13: 9783662012345

ISBN-10: 3662012359

ISBN-13: 9783662012352

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Beweis. Es ist zu zeigen, daß es außer den genannten keine weiteren Fixgeraden gibt. , und U als Schnittpunkt von zwei verschiedenen Fixgeraden Fixpunkt. , welche von g verschieden und nicht zu g senkrecht ist. Wir betrachten einen beliebigen Punkt P . Von P , fällen wir ein Lot a auf g; der Fußpunkt sei A. Auf h wählen wir einen Punkt B, welcher weder auf g noch IJ auf a liegt, und ziehen die eindeutige Verbindungsgerade b von A und B . Es ist b =l= g, a. Da A, B Fixpunkte von Cf. , also jede zu b senkrechte Gerade Fixgerade von Cf..

Satz 3 (Eindeutigkeit der Senkrechten) . 1. g folgt a = b. Beweis. Fall 1 : PIg. g folgt nach Satz 1 P= ag. Entsprechend ergibt sich P= bg. Also ist ag = bg, mithin a=b. Fall 2: P =t= pg. Aus a, bI P folgt ag , bg I pc. l. g folgt aC= a, bC= b. Also gilt a, bI P, pg, und daher nach Axiom 2 a = b. Nach Satz 2 sind ein Punkt und eine Gerade stets durch eine Gerade verbindbar. Ist P=t=g, so ist diese Gerade nach Satz 3 eindeutig bestimmt, und wir bezeichnen sie mit (P, g), oder auch mit (g, P). Wir formulieren nochmals den in Satz 2 und 3 als Fall 1 enthaltenen Satz 4.

Da es andererseits durch jeden Punkt der Ebene eine Senkrechte zu g geben muß, bliebe nur die Möglichkeit, daß alle Punkte der Ebene mit g inzidieren; wegen der Inzidenzaxiome wäre g dann die einzige Gerade der Ebene. Es gäbe keine Spiegelung an g. Während etwa durch das HILBERTsche Axiomensystem der euklidischen Geometrie die axiomatische Fundierung einer seit langem erforschten Theorie vollzogen wurde, gibt es nicht eine so fest umrissene Theorie, deren Axiomatisierung durch unser Axiomensystem geleistet werden soll.

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Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff: Eine Vorlesung by Friedrich. Bachmann


by Joseph
4.2

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