Differential Geometry and Differential Equations by Chaohao G. (ed.), Berger M., Bryant R.L. PDF

By Chaohao G. (ed.), Berger M., Bryant R.L.

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Definition: Eine Funktion der Gestalt pb ( x ) = x b (mit b ∈ R) heißt Potenzfunktion; ist speziell b = 1 mit n ∈ N, n ≥ 2, so heißt f (x) Wurzelfunktion. 5 Potenz- und Wurzelfunktionen 39 Eigenschaften: 1. Nach der Definition der Potenz ist eine Potenzfunktion pb ( x ) = x b stets mindestens auf R+ definierbar; in Abhängigkeit von b kann D pb auch größer sein, und zwar: a) Für b ≥ 0 kann pb auch auf R0+ definiert werden. b) Für b ∈ Z kann pb auf R*, für b ∈ N sogar auf ganz R definiert werden.

Dies liegt daran, dass die Geschwindigkeits/Zeit-Funktion auf dem gesamten Zeitintervall stetig ist. b) Sie sollen für die Funktion f ( x ) = x 4 + 2 x 3 − 98 x 2 + 2 x + 1 eine Nullstelle bestimmen. Sie setzen x = 0 und x = 1 ein und erhalten einen positiven und einen negativen Funktionswert. Daraus schließen Sie, dass f zwischen 0 und 1 mindestens eine Nullstelle haben muss. Warum? Sie haben den Zwischenwertsatz angewandt − Polynome sind ja auf ganz R stetig! Vereinfacht ausgedrückt besagt der Zwischenwertsatz, dass man den Graphen einer auf einem Intervall stetigen Funktion zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen.

Sowie für sin x ⋅ sin y, sin x ⋅ cos y, cos x ⋅ cos y und sin x ± sin y etc. herleiten, die in jeder Formelsammlung zu finden sind. 8. B. ist sin x = k ⋅ tan x 1 + tan 2 x und cos x = k ⋅ 1 1 + tan 2 x , π π ⎧ ⎪⎪ 1 für x ∈ ] − 2 , 2 [ wobei k = ⎨ (und entsprechend 2π-periodisch fortgesetzt) ist. 3: Die Graphen von Tangens- und Kotangensfunktion Da die trigonometrischen Funktionen periodisch sind, können sie natürlich nicht injektiv sein, besitzen also − auf den gesamten Definitionsbereich bezogen − keine Umkehrfunktion.

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by Ronald
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