Hans Grauert, Ingo Lieb (auth.)'s Differential- und Integralrechnung III: Integrationstheorie PDF

By Hans Grauert, Ingo Lieb (auth.)

ISBN-10: 3540041877

ISBN-13: 9783540041870

ISBN-10: 3662002353

ISBN-13: 9783662002353

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LfI ~ g mit einer integrierbaren Funktion g), dann ist auch I integrierbar. Man wird allerdings nicht mehr f Idp. = lim f I"dp. erwarten dürfen. , = max (min (f" , g), -g). Die g. bilden eine L-beschränkte Folge integrierbarer Funktionen, die offensichtlich auch gegen I konvergiert; somit ist I integrierbar. § 9. Meßbare Mengen Wie stets sei p. ein positives Maß. Wenn I eine auf einer nichtleeren Teilmenge M des Rn erklärte Funktion ist, so bezeichnen wir mit die durch M = I, Rn - M == 0 auf dem ganzen Raum erklärte Funktion und nennen die triviale Fortsetzung von I auf den Rn.

H. Beweis. Da I integrierbar ist, können wir Folgen nach oben bzw. , < U" sowie h1 ~ h 2 ~ h3 < ... =5'. I ~ ... ,] eine e,,- Umgebung von I ist; die e" sollen dabei eine monotone Nullfolge positiver Zahlen bilden. Es ist also, da für halbstetige Funktionen die Behauptung schon durch Hilfssatz 1 erledigt ist, f [f(U,,(~/, t') - h,,(~', t'»d~/]d~" = f(u"W R'" Rn Rn+... M, 0 für ~"EM , Rn Rn so sind (wieder nach Hilfssatz 1) U;' und h;' über den Rm integrierbar, die Folge F" = U;' - h;' fällt monoton und strebt also, da alle ihre Glieder integrierbar und nicht-negativ sind, gegen eine integrierbare Grenzfunktion F.

Ist, und setzen ~** = ~ () ~*. Für t EE ~** ist dann ,u(t) ~ f gd,u, also ~ Da ~ > f Id,u - ,u(t) ~ f Id,u - f gd,u. willkürlich gewählt war, muß f 1d,u < f g d,u sein. Entsprechend folgt die andere Ungleichung. § 6. -Vektorraum bilden, auf welchem das Integral als lineares positives Funktional operiert. Wir formulieren alle Sätze natürlich gleich für lR-wertige Funktionen; Spezialisierung auf reelle Funktionen liefert dann die obige Aussage. Die Beweise geschehen in zwei Schritten: Zunächst zeigt man die Linearität des Integrals nur für halbstetige Funktionen und geht erst dann mit Hilfe der Sätze des vorigen Paragraphen zu beliebigen integrierbaren Funktionen über.

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Differential- und Integralrechnung III: Integrationstheorie · Kurven- und Flächenintegrale by Hans Grauert, Ingo Lieb (auth.)


by David
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