Download PDF by Friedrich Wilhelm Schäfke: Einführung in die Theorie der Speziellen Funktionen der

By Friedrich Wilhelm Schäfke

ISBN-10: 3642948677

ISBN-13: 9783642948671

ISBN-10: 3642948685

ISBN-13: 9783642948688

Das vorliegende Buch ist zum Teil aus Vorlesungen entstanden, die ich in den vergangenen zehn Jahren an verschiedenen Universitaten gehalten habe. Es verdankt daneben viel einer intensiven Beschaftigung auch mit den hOheren speziellen Funktionen, 'lor allem dem Bemtihen, fur ihre Untersuchung eine solide mathematische Grundlage zu schaffen. So ist mit dieser EinfUhrung ein Werk entstanden, das versucht, die Theorie der behandelten Funktionen mit dem Blick auf das mathematisch Wesentliche zu erfassen, den Zugang zu ihnen zu vereinfachen, ihre Vielfalt zu uberschauen und zu beherrschen. Ich habe die Hoffnung, daB die Theorie so auch fUr den, der diese Funktionen nicht als Gegen stand rein mathematischer Betrachtungen ansehen kann, sondem sie als Hilfsmittel benatigt, etwas gewonnen hat. Zu besonderem Dank bin ich verpflichtet Fraulein okay. KAPPES fUr die sorgfaltige Reinschrift des Manuskripts, meinen Mitarbeitem R. EBERT und A. SCHNEIDER fUr die groBe Muhe einer kritischen Durchsicht, Herm A. SCHNEIDER insbesondere fUr die gewissenhafte Unterstutzung bei der Korrektur. Dem Verlage schlieBlich gilt mein Dank fUr sein Verstandnis bei mancher Verzagerung der Fertigstellung und fUr die vorzugliche Ausstattung des Buches. F. W. SCHAFKE KaIn, im Juni 1963 Inhaltsverzeichnis Seite Einleitung I 1. Grundlagen 7 I. I. Die Schwingungsgleichung 7 I. I I. grad, div, LI in orthogonalen Koordinatensystemen. 7 I. I 2. Orthogonalinvarianz. . . . . . . . thirteen I. I three. Bedeutung der Schwingungsg\eichung sixteen 1. I four. Separation der Schwingungsgleichung 17 1.2. Funktionentheoretische Hilfsmittel . 23 1.3. Die Laplace-Transformation ..... . 29 2. Die GammaCunktion . . . . . . . . . . .

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P absolut konvergieren. 3. Die Laplace-Transformation Dann gehortl 35 1 /; (t)*F;(t) = IF;. (t- or) F;(-r) d-r (5) o zu A. Das entsprechende Laplace-Integral ist in S) absolut konvergent. Dart gilt ~{/;. F;}= ~{/;}. ~{F;}. Die Bildung (5) wird als "Faltung" bezeichnet. Sie existiert fiir 00 und ist dort stetig, falls nur /; (t) und F; (t) dort stetig und nach 0 heran absolut integrabel sind. Die Existenz ist klar, weil der Integrand von (5) im offenen Intervall (0, t) stetig und nach den Enden hin absolut integrabel ist; denn letzteres gilt jeweils fiir einen Faktor, wahrend der andere stetig, also beschriinkt ist.

00 Nun benutzt man d2 (x> 0), dx 2 logG(x) ~O und (vgl. logr(x) ~O dx 2 (x~+oo). Damit liefert (*) (x> 0). d"(x)~O Nun ist aber %+1 f d"(~)d;=d'(x+1)-d'(x)=0; x also folgt mit der Stetigkeit von d"(x): d"(x)=:=O. Es muB danach mit Konstanten a, b d(x)=ax+b scm. Die Periodizitat von d (x) zeigt a = 0; und d (1) = 0 liefert schlieBlich, wie zu zeigcn war, d(x)=O, G(x)=J'(x). Satz 1 bictct zunachst cinen cinfachcn Bcweis fur 00 r(z) = f e- t t z - I dt o UHc z> 0). (16) me Durch das Integral ist eine Funktion G (z) fUr z> 0 definiert, sie ist dort regular analytisch.

An erkennt nun sofort dic Wertc 0 fUr ungerades n. Fiir gerades n=2m (m=O, 1, 2, ... ) rechnet man we iter urn zu 3. Die Zylinderfunktionen 58 I So ist fur aIle Aund m = 0, 1, 2, ... -ldt=0, f (1+. -1-) 1. ) ______ . (33) r(i-A)r(A+m+1) Auf diese Integrale kommen wir in der Theorie der Bessel-Funktionen zurUck. 3. 1. )U2(~)$O licfert die durch den Separationsparameter v2 gekoppelten Differentialgleichungen (3) (4) (3) ist die Besselsche Differentialgleichung; ihre Losungen sind die "Zylinderfunktionen zum Index v".

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by Joseph
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