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By Lucienne Félix

ISBN-10: 3322960935

ISBN-13: 9783322960931

ISBN-10: 332296227X

ISBN-13: 9783322962270

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Insbesondere gilt: [WO l ]': Die Teilmenge P hat selbst ein kleinstes Element. Theorem Dieses kleinste Element von P ist das neutrale Element fl der Multiplikation. 32 Sei nämlich p dieses kleinste Element, so bestünde zwischen den positiven Elementen p und fl die Ordnungsrelation p ~ fl und es wäre p-pp = Pfl-PP = p(P-p) ~ 0. Das Ungleichheitszeichen kann jedoch unmöglich gelten, weil sonst die positive Zahl pp kleiner als P sein würde, was zu der Definition von P in Widerspruch steht; es gilt also das Gleichheitszeichen P = fl.

Derartige Zahlen nennt man transzendente Zahlen. 45 Man sieht also, daß durch das Axiom (r) schlagartig sehr verschiedene Zahlen eingeführt werden, die zur Vervollständigung der Menge notwendig sind. Trotzdem werden in der Mathematik noch andere Zahlen eingeführt, zum Beispiel, um der Gleichung x 2 + 1 = 0 Lösungen zuschreiben zu können. Dazu muß man gewisse Axiome aufgeben, wie zum Beispiel das Axiom der totalen Ordnung (TeillII, Kapitel VI: Komplexe Zahlen). C. EIGENSCHAFTEN DER MENGE R DER REELLEN ZAHLEN Wir haben die Menge R der reellen Zahlen konstruiert, die wir mit Hilfe Axioms (r) aus der Menge der rationalen Zahlen geschaffen haben.

Vereinbarungsgemäß schreibt man ° m+(-a) = m-a. Man hält an dieser Übereinkunft fest, selbst wenn a negativ ist: dann ist a' = -a positiv. In einer Menge, die zu jener, die wir soeben konstruiert haben, isomorph ist, werden die positiven Zahlen in eineindeutiger Zuordnung zu den natürlichen Zahlen mit dem Zeichen + versehen, wobei die Vereinbarung m+( +a) = m+a gilt. Die Menge der relativen ganzen Zahlen sch~eibt sich alse ... , -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, Wichtige. Bemerkung Die im obigen durchgeführte Erweiterung durch Symmetrisierung bleibt ebenso wie die Vereinbarungen bezüglich der Zeichen + und gültig, selbst wenn wir bei dieser Symmetrisierung von Mengen ausgehen, die umfangreicher als die Menge der natürlichen Zahlen sind 3 Felix 33 (z.

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Elementarmathematik in moderner Darstellung by Lucienne Félix


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