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By Jolán Kelemen

ISBN-10: 9631933156

ISBN-13: 9789631933154

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Notons alors dn (L) le nombre de mots de longueur n qui appartiennent a L. e. une fraction rationnelle de Z(t) a coe cients dans N, que l'on peut calculer de maniere explicite. Cela donnera donc aussi une expression explicite pour dn(L) (et pour son comportement asymptotique). Utilisation des expressions rationnelles Nous commencerons ici par de nir la notion d'expression rationnelle inambigue ou non ambigue. Nous aurons besoin pour cela de deux de nitions preliminaires. Rappelons d'abord qu'un produit de deux langages rationnels L et L est dit non ambigu si et seulement si on a 1 u u =v v =) pour tous mots u ; v 2 L et u ; v 2 L .

Notons maintenant Cn et Cn la moyenne et l'ecart-type du nombre de comparaisons e ectuees par un tri par insertion sur une permutation aleatoire de n termes. La proposition suivante donne alors les valeurs explicites de ces deux grandeurs. 21 Pour tout n, on a : ( C = n Cn = n2 q n +n 4 (2 3 n 4 +5) ( n 1 1) : (0:14) 72 Preuve | On designera par L la liste que l'on cherche a trier par l'algorithme de tri par insertion. Si la liste L est une permutation de Sn , il est facile de voir que le nombre de comparaisons e ectuees lors de la i-ieme etape d'un tri par insertion est egal a 1+ t i (ou t designe la table d'inversions de ).

22. 16) ? 12 Soit A un alphabet muni d'une relation de commutation partielle #. 1) Montrez qu'il existe en general des constantes A, et k telles que mn (A; #) ' n ! e. ssi M (A; #) est isomorphe a N A ). ( ) 40 Chapitre 0. 1 Langages rationnels et algebriques Dans de nombreuses situations de denombrement, on est amene a coder des structures combinatoires par des langages rationnels ou algebriques. Ce genre de methode ramene ainsi naturellement un probleme de denombrement a un probleme de comptage de mots pour un langage rationnel ou algebrique.

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by William
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