W. Maak (auth.)'s Fastperiodische Funktionen PDF

By W. Maak (auth.)

ISBN-10: 3642866875

ISBN-13: 9783642866876

ISBN-10: 3642866883

ISBN-13: 9783642866883

Das vorliegende Buch handelt von den fastperiodischen Funktionen auf Gruppen. Die Theorie dieser Funktionen erfaßt als Spezialfälle unter anderem die Fourierreihen periodischer Funktionen, die eigent­ lichen von H. BOHR geschaffenen fastperiodischen Funktionen und die Kugelfunktionen. Im Grunde ist die Theorie der fastperiodischen Funk­ tionen auf Gruppen nichts anderes als die Darstellungstheorie beliebiger, additionally vor allem auch unendlicher Gruppen. Als wichtigste Anwendung der Hauptsätze über fastperiodische Funktionen auf Gruppen darf guy wohl die v. Neumannsehe Beweisführung ansehen, welche zeigt, daß jede kompakte, n-dimensionale Gruppe eine treue endliche unitäre Dar­ stellung besitzt. Unter Benutzung von Sätzen aus v. Neumanns Theorie der linearen Gruppen kann hieraus gefolgert werden, daß jede kompakte n-dimensionale Gruppe eine Liesche kontinuierliche Gruppe ist. Das bekannte V. Hilbertsche challenge, welches sich allerdings auf noch allgemeinere, etwa lokalkompakte Gruppen bezieht, ist durch diesen Satz für den Fall kompakter Gruppen befriedigend gelöst. Alle an­ gedeuteten Probleme, Sätze und Zusammenhänge werden in diesem Buche erläutert und bewiesen. Obwohl damit nur ein gewisser (wie mir scheint, besonders schöner) Ausschnitt aus dem Gesamtgebiet der Theorie fastperiodischer Funktionen wiedergegeben wird, dürfte der Leser wohl trotzdem durch die Lektüre in den Stand gesetzt werden, jede Abhandlung, welche sich auf fastperiodische Funktionen bezieht, ohne Schwierigkeiten zu verstehen. In dem letzten Abschnitt dieses Buches wird außerdem versucht, in kurzen Worten einen Überblick über das Gesamtgebiet der fastperiodischen Funktionen zu geben. Einzelne Literaturhinweise, die diesem Abschnitt beigefügt sind, wer­ den möglicherweise als dngenehm empfunden werden.

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Denselben Rang wie H min besitzt, 2. zu H min assoziiert ist und 3. das Element A .. enthält. Mindestens ein Element Bi.. aus H mi.. muß mit A .. verknüpft sein; wäre das nicht der Fall so könnte man A .. aus Ami.. fortlassen und hätte in (Amin - A,,) eine zu H min assoziierte Menge von geringerem Rang als H"'in' Die Elemente Ai (i = 1, •.. , n - 1) und Bi (i = 1, . . , n, aber j 9= i,,) bilden nun wieder zwei Systeme von jetzt je n - 1 Elementen, welche die Bt'dingung des Satzes erfüllen. Es sei nämlich die innerhalb dieses reduzierten Systemes gebildete Menge A vom Range s assoziiert zu der ebenfalls diesem Systeme angehörigen Menge B vom Range r.

35 § 10. Der kombinatorische Hilfssatz. Um den Beweis des Satzes 2 in § 9 zu vollenden, werden wir jetzt den dort erwähnten Hilfssatz herleiten. Wir denken uns ein System von n verschiedenen Elementen A1> ... , A" und ein anderes System von ebenfalls n verschiedenen Elementen 131> ... , B". Wir nehmen an, daß von jedem Elementepaar (A" Bi) gesagt sei, ob Ai und Bi verknüpft oder nicht verknüpft sind 1. Die Anzahl r der Elemente einer beliebigen Menge A = (Ai" ... , Ai,) oder die Anzahl s der Elemente einer beliebigen Menge B = (B i" ••• , Bis) heißt der Rang der betreffenden Menge.

B" auffaßt. Also ist s 1 :;;: r. Nun nehmen wir an, daß r = s 1 ist. Dann wäre Beine Hauptmenge, deren assoziierte Menge von gleichem Range gerade A A" ist. Nun muß B notwendig als Hauptmenge ganz H mi.. enthalten. In H min liegt aber Bin' also müßte Bin in B liegen, obwohl doch Bi" sicher nicht in B liegt. Deshalb ist s 1 > r oder s ;;;;: r, was zu zeigen war. Durch Induktion läßt sich der Beweis des Hilfssatzes beenden. Wir haben zunächst i" so bestimmt, daß + + + + + + + A", B;n verknüpft sind.

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Fastperiodische Funktionen by W. Maak (auth.)


by Jeff
4.2

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